均值不等式證明 證明書

均值不等式證明
一、
已知x,y爲正實數，且x+y=1 求證
xy+1/xy≥17/4
1=x+y≥2√(xy)
得xy≤1/4
而xy+1/xy≥2
當且僅當xy=1/xy時取等
也就是xy=1時
畫出xy+1/xy圖像得
01時，單調增
而xy≤1/4
∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4
得證
繼續追問：
拜託，用單調性誰不會，讓你用均值定理來證
補充回答：
我真不明白我上面的方法爲什麼不是用均值不等式證的
法二：
證xy+1/xy≥17/4
即證4(xy)2-17xy+4≥0
即證(4xy-1)(xy-4)≥0
即證xy≥4，xy≤1/4
而x,y∈R+，x+y=1
顯然xy≥4不可能成立
∵1=x+y≥2√(xy)
∴xy≤1/4，得證
法三：
∵同理0
xy+1/xy-17/4
=(4x2y2-4-17xy)/4xy
=(1-4xy)(4-xy)/4xy
≥0
∴xy+1/xy≥17/4
試問怎樣叫“利用均值不等式證明”，是說只能用均值不等式不能穿插別的途徑?!
二、
已知a>b>c，求證：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0
a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)
於是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0
即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】
那麼
1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)
≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】
≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0
三、
1、調和平均數：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、幾何平均數：Gn=()^(1/n) 3、算術平均數：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均數：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n 這四種平均數滿足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即爲均值不等式。
概念：
1、調和平均數：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、幾何平均數：Gn=()^(1/n)
3、算術平均數：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均數：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
這四種平均數滿足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +，當且僅當a1=a2= … =an時勸=”號
均值不等式的一般形式：設函數D(r)=[(a1^r+a2^r+^r)/n]^(1/r)(當r不等於0時);
()^(1/n)(當r=0時)(即D(0)=()^(1/n))
則有：當r注意到Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)
由以上簡化，有一個簡單結論，中學常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]
方法很多，數學歸納法(第一或反向歸納)、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
用數學歸納法證明，需要一個輔助結論。
引理：設A≥0，B≥0，則(A+B)^n≥A^n+nA^(n-1)B。
注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化爲A≥0，A+B≥0,有興趣的同學可以想想如何證明(用數學歸納法)。
原題等價於：((a1+a2+…+an )/n)^n≥a1a2…an。
當n=2時易證;
假設當n=k時命題成立，即
((a1+a2+…+ak )/k)^k≥a1a2…ak。那麼當n=k+1時，不妨設a(k+1)是a1，a2 ，…，a(k+1)中最大者，則
k a(k+1)≥a1+a2+…+ak。
設s=a1+a2+…+ak，
{[a1+a2+…+a(k+1)]/(k+1)}^(k+1)
={s/k+[k a(k+1)-s]/[k(k+1)]}^(k+1)
≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k[k a(k+1)-s]/k(k+1) 用引理
=(s/k)^k* a(k+1)
≥a1a2…a(k+1)。用歸納假設
下面介紹個好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函數f(x)，x1,x2,是函數f(x)在區間(a,b)內的任意n個點，
則有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]
設f(x)=lnx，f(x)爲上凸增函數
所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)]
即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)
在圓中用射影定理證明(半徑不小於半弦)。