立體幾何證明 證明書

立體幾何證明
高中立體幾何的證明主要是平行關係與垂直關係的證明。方法如下(難以建立座標系時再考慮)：
Ⅰ.平行關係：
線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直於同一平面的兩條直線平行。
線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。
面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。
Ⅱ.垂直關係：
線線垂直：1.直線所成角爲90°。2.一條直線與一個平面垂直，那麼這條直線與平面內的任一直線垂直。
線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那麼另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那麼這條直線也與另一平面垂直。
面面垂直：1.面面所成二面角爲直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那麼這兩個平面垂直。
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四個判定定理：
① 若平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。
② 如果一個平面內有兩條相交直線都平行於一個平面，那麼這兩個平面平行。
③ 如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼該直線與此平面垂直。
④ 如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直。
從平面拓展到空間的角相等或互補的判定定理：
空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那麼這兩個角相等或互補。
四個性質定理：
① 一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行。
② 兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行。
③ 垂直於同一平面的兩條直線平行。
④ 兩個平面垂直，則一個平面內垂直於交線的直線與另一個平面垂直。
標準只要求對於四個性質定理用綜合幾何的方法加以證明。對於其餘的定理，在選修2的“空間向量與立體幾何”中利用向量的方法予以證明。
(2)立體幾何初步這部分，我們希望能使學生初步感受綜合幾何的證明。在處理證明時，要充分發揮幾何直觀的作用，而不是形式上的推導。例如，平行於同一平面的二直線平行的證明方法，有的老師就是採用了一種很